Параллельное соединение активного сопротивления и емкости - ELSTROIKOMPLEKT.RU

Параллельное соединение активного сопротивления и емкости

Параллельное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости

Рассмотрим схему, состоящую из параллельно соединенных активного и реактивных элементов (рис. 2.31, а).

Требуется по известным G, ВL, ВC, U рассчитать токи. Как и прежде, задачу будем решать двумя методами.

1. М е т о д в е к т о р н ы х д и а г р а м м.

Токи ветвей находятся сразу: , , .

Для определения общего тока необходимо построить векторную диаграмму (рис. 2.31, б). Построение начинаем с вектора напряжения, так как оно является общим для всех ветвей. Из векторной диаграммы имеем

или ,

где – полная проводимость цепи, равная

.

Разность индуктивной и емкостной проводимостей представляет собой общую реактивную проводимость цепи .

Рис. 2.31. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма

Векторы токов на диаграмме образуют треугольник токов. Его горизонтальный катет, представляющий проекцию вектора тока на вектор напряжения, называется активной составляющей тока и равен току в активном элементе цепи: (рис. 2.32, а). Проекция вектора тока на направление, перпендикулярное напряжению, – это реактивная составляющая тока. Она равна суммарному току реактивных элементов и определяется как разность длин векторов: (см. рис. 2.31, б и 2.32, а).

Рис. 2.32. Треугольники токов и проводимостей

Разделив все стороны треугольника токов на , получим треугольник проводимостей (рис. 2.32, б), стороны которого связаны следующими соотношениями:

, , , . (2.29)

2. С и м в о л и ч е с к и й м е т о д.

Раньше были получены следующие формулы:

, , .

Подставляя их в уравнение первого закона Кирхгофа, получаем:

или ,

где – комплексная проводимость цепи, равная

Пример 2.12. Для цепи, показанной на рис. 2.33, а, рассчитать токи, угол сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи, построить векторную диаграмму. Числовые значения параметров цепи: В, Ом, мкФ, с -1 .

Рис. 2.33. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма

А, Ом,

А, А.

Векторная диаграмма приведена на рис. 2.33, б.

Угол сдвига фаз .

Величину общего тока можно найти иначе:

См, См,

См, А.

Пример 2.13. Начертить цепь, векторная диаграмма которой изображена на рис. 2.34, а.

Р е ш е н и е задачи показано на рис. 2.34, б.

Рис. 2.34. Векторная диаграмма и соответствующая ей электрическая цепь

Пример 2.14. Чему равно показание амперметра А на входе цепи в схемах рис. 2.35, если амперметры А1 и А2 во всех случаях показывают соответственно 4 и 3 А?

Рис. 2.35. Измерение тока в электрической цепи

Предлагаем для каждого случая самостоятельно построить векторную диаграмму и убедиться в правильности приведенных ответов: а) 5А, б) 7А, в) 1А.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Параллельное соединение активного сопротивления и емкости

Последовательная R,L,C- цепь

Пусть напряжение на входе цепи (рис.5.1,а) синусоидально, т.е.

u =U m Sin ( w t+ y u ).

На основании второго закона Кирхгофа для данной цепи можно записать уравнение относительно комплексных амплитуд в виде

Зная комплексные сопротивления элементов цепи , на основании закона Ома в комплексной форме можно представить комплексные амплитуды напряжений на элементах так:

Находя отношение комплексных амплитуд напряжения и тока, получим комплексное сопротивление последовательной R,L,C- цепи в виде

Z=,

где — активная составляющая комплексного сопротивления,

= X L -X c – реактивная составляющая комплексного сопротивления.

Следует заметить, что реактивная составляющая сопротивления цепи равна разности индуктивного и емкостного сопротивлений и поэтому может принимать разные знаки или обращаться в 0. Указанное обстоятельство является следствием того, что при протекании через реактивные элементы L и C одного и того же тока i напряжение на них u L и u c находятся в противофазе. Полное сопротивление контура

и, следовательно, амплитуда тока может быть определена как

Аргумент комплексного сопротивления, определяющий фазовый сдвиг между напряжением и током, равен

и, следовательно, выражение для мгновенного значения тока в цепи можно окончательно получить в виде

Таким образом, как амплитуда, так и начальная фаза тока зависят от соотношений индуктивного и емкостного сопротивлений, что иллюстрируется векторными диаграммами, приведенными на рис. 5.1,б, в, г.

Если X L > X c и, следовательно, U mL > U mc ( рис.5.1,б), то j >0 и цепь носит индуктивный характер.

Если X L c и, следовательно, U mL mc (рис.5.1,в), то j и цепь носит емкостной характер.

Если X L = X c и, следовательно, U mL =U mc (рис.5.1,г), то j =0 и цепь носит резистивный характер. В этом случае в цепи имеет место резонанс.

Параллельная R, L, C-цепь

Пусть напряжение на входе контура ( рис.5.2,а) синусоидально. На основании первого закона Кирхгофа для данной цепи можно записать уравнение относительно комплексных амплитуд тока в виде

Зная комплексные проводимости ветвей цепи на основании закона Ома в комплексной форме можно представить комплексные амплитуды токов в ветвях так

Находя отношение комплексных амплитуд тока и напряжениz, получим комплексную проводимость параллельной R, L, C-цепи в виде

Y=,

где =1/R — активная составляющая комплексной проводимости,

=b L -b C — реактивная составляющая комплексной проводимости.

Реактивная составляющая комплексной проводимости рассматриваемой цепи равна разности проводимостей индуктивной и емкостной ветвей и поэтому может принимать разные знаки и обращаться при определенных условиях в 0. Указанное обстоятельство является следствием того, что при одинаковом напряжении на индуктивности и емкости токи, протекающие через эти элементы, находятся в противофазе.

Полная проводимость цепи

и, следовательно, амплитуда тока, протекающего через входные зажимы цепи, может быть определена как

.

Аргумент комплексной проводимости, определяющий фазовый сдвиг между напряжением и током находится по формуле

j =arctg(b/g)= arctg[R(1/ w L — w C)]

и, следовательно, выражение для мгновенного значения тока в неразветвленной части цепи можно окончательно получить в виде

.

Таким образом, как амплитуда, так и начальная фаза тока зависит от соотношения величин проводимостей индуктивной и емкостной ветвей, что иллюстрируется векторными диаграммами, приведенными на рис. 5.2 б, в, г.

Если b L C и, следовательно, I mL mC (рис. 5.2,б), то φ L >b C и, следовательно, I mL >I mC (рис. 5.2,в), то φ>0 и цепь носит индуктивный характер.

Если b L =b C и, следовательно, I mL =I mC ( рис. 5.2,г), то φ=0 и цепь носит резистивный характер. В этом случае в цепи имеет место резонанс.

Вообще в цепи, содержащей емкость и индуктивность, существует резонанс, если напряжение на зажимах цепи и ток, протекающий через зажимы, совпадают по фазе. В зависимости от схемы, по которой включены элементы R, L и C в цепях может иметь место либо резонанс напряжений, либо резонанс токов. При последовательном соединении указанных элементов в цепи имеет место резонанс напряжений, при параллельном- резонанс токов.

Эквивалентные преобразования пассивных двухполюсников

Как отмечалось ранее, ток напряжение на входе любого пассивного двухполюсника связаны между собой законом Ома в комлексной форме

или ,

где Z и Y- входные комплексное сопротивление и проводимость двухполюсника.

Входному комплексному сопротивлению Z= соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления и реактивного сопротивления (рис. 5.3,а). Последняя в зависимости от знака может быть либо индуктивной либо емкостной .

Читайте также  Зачем нужен резистор в электрической цепи?

В соответствии с выражением

напряжение на зажимах такого двухполюсника можно разложить на 2 составляю-щие : активную , совпадающую по фазе с током, и реактивную, сдвинутую по фазе на угол p /2.

Входной комплексной провдимости Y= соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из параллельного соединения активной провдимости и реактивной проводимости (рис. 5.3,б). Последняя в зависимости от знака также может быть либо индуктивной либо емкостной .

В соответствии с выражением

ток, протекающий через зажимы такого двухполюсника можно разложить на 2 составляющие : активную , совпадающую по фазе с напряжением, и реактивную, сдвинутую по фазе на угол p /2.

Переход от комплексного сопротивления Z к комплексной прово-димости Y и обратно соответствует замене схемы двухполюсника с последо-вательным соединением активного сопротивления и реактивного сопротивления схемой с параллельным соединением элементов и и обратно. Схемы будут эквиваленты, если Y=1/Z, т.е.

.

Следовательно, .

Обратный пересчет осуществляется по формулам

2.8. Параллельное соединение R, L, С

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.18), приложено гармоническое напряжение u = Umcosωt, то гармонический ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме гармонических токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа): i = iR + iL + iC.

Ток iR в сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением и, ток iL в индуктивности L отстает, а ток iC в емкости С опережает напряжение на π /2 (рисунок 2.19).

Следовательно, суммарный ток i в цепи равен

Уравнение (2.20) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов. Входящая в него величина называется реактивной проводимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0) или емкостный (b φ воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.20) (рисунок 2.20, а и б). Прямоугольный треугольник с катетами IR и [IL+IC] и гипотенузой I называется треугольником токов. Треугольник токов построен на рисунке 2.20, а для b >0, а на рисунке 2.20, б − для b φ ).

Угол φ , как и в предыдущем случае, отсчитывается на временной диаграмме ωt от напряжения к току, а на векторной диаграмме — от тока к напряжению; он является острым или прямым углом

| φ | .

Угол φ положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при b > 0; при этом ток отстает по .фазе от напряжения. Угол φ отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при b φ ; b = уsin φ . (2.23)

Умножив правые и левые части выражений (2.23) на действующее значение напряжения U, получим действующие значения токов в ветвях с активной и реактивной проводимостями изображаемые катетами треугольника токов и называемые активной и реактивной составляющими тока:

Как видно из треугольников токов и уравнений (2.24), активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой

Разделив стороны треугольника токов на U, получим прямоугольный треугольник проводимостей, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.21, а, б).

Треугольник проводимостей служит геометрической интерпретацией уравнений (2.21) и (2.22); активная проводимость g откладывается по горизонтальной оси вправо, а реактивная проводимость b в зависимости от ее знака откладывается вниз (b > 0) или вверх (b φ в треугольнике проводимостей отсчитывается, от гипотенузы у к катету g, что соответствует отсчету φ в треугольнике токов от I = yU к Ia = gU.

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с емкостной и активной проводимостями, применяется понятие добротность конденсатора QC = b/g = ωCR, которое равнозначно тангенсу угла | φ | конденсатора. Обратная величина называется тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора tg δ = l/QC (угол диэлектрических потерь δ дополняет угол | φ | до 90°).

Чем больше сопротивление R, тем больше (при прочих равных условиях) добротность конденсатора и тем меньше угол потерь.

Добротность конденсаторов для разных частот и диэлектриков колеблется в широких пределах, примерно от 100 до 5000. Слюдяные конденсаторы обладают большей добротностью, чем керамические. Добротность конденсаторов, применяемых в высокочастотной технике, примерно в 10 раз превышает добротность индуктивных катушек.

Частотные характеристики параллельного и последовательного соединений индуктивности, емкости и активного сопротивления

Федеральное агентство по образованию

Ульяновский Государственный Технический Университет

Лабораторная работа №3.

Частотные характеристики параллельного и последовательного соединений индуктивности, емкости и активного сопротивления.

Студенты группы ИСТд — 21

Цель лабораторной работы: приобрести навыки расчета режимов элек­трических цепей синусоидального тока, содержащих резисторы, конденсато­ры и катушки индуктивности.

Задача 1. Определить параметры элементов цепи с последовательным соединением RLC по показаниям измерительных приборов.

Задача 2. Определить параметры элементов цепи с параллельным со­единением RLC по показаниям измерительных приборов.

Задача 3. Построить векторные диаграммы.

Теоретическая справка.

Если к цепи, содержащей последовательно соединенные резистор R, конденсатор C и катушку индуктивности L (последовательное соединение RLC), приложено синусоидальная ЭДС, то ток в цепи будет тоже синусоидальным, но начальная фаза тока изменится на угол ϕ:

который зависит от соотношения параметров цепи:

Второй закон Кирхгофа при последовательном соединении RLC для мгновенных значений имеет вид:

e=uR+uC+uL, (2)

где uR, uC, uL синусоидальные падения напряжения соответственно на рези­сторе, конденсаторе и катушке индуктивности.

При использовании комплексного метода расчета цепей синусоидально­го тока выражение (2) запишется в виде суммы векторов на комплексной плоскости:

E=Ur+Uc+Ul ,


что иллюстрируется векторной диаграммой, приведенной на рис.1,а. Из диаграммы видно, что ток и напряжение на активном сопротивлении совпа­дают по фазе, на конденсаторе ток опережает напряжение на 90о, а на ка­тушке индуктивности ток, наоборот, отстает от напряжения на 90о.

При расчете комплексным методом конденсатор заменяется реактивным сопротивлением jXC=-j/(ωC), идеальная катушка индуктивности — реактив­ным сопротивлением jXL=jωL. Реальная катушка индуктивности имеет так­же активное сопротивление RL, в частности, сопротивление провода, из ко­торого она изготавливается, поэтому ее сопротивление имеет комплексный характер: ZL=RL+jXL. В последнем случае сопротивление катушки RL изме­няет угол сдвига фаз ϕ между напряжением и током, что приводит к тому, что в формуле (1) это сопротивление входит в сопротивление R.

При параллельном соединении элементов R, L, C при расчетах обычно используют проводимости: активную G=1/R, реактивную емкостную jBC=1/(-jXC)=jωC, реактивную индуктивную jBL=1/(jXI)=-j/(ωL). При нали­чии активного сопротивления катушки индуктивности RL ее проводимость имеет комплексный характер: YL=GLjBL,

При параллельном соединении RLC выражение для первого закона Кирхгофа в комплексной форме запишется в виде:

I=IR+IC+IL , (3)

где I— ток в неразветвленной части цепи (ток на входе); IR, IC, IL токи соот­ветственно через резистор, конденсатор и катушку индуктивности. Выраже­ние (3) иллюстрируется векторной диаграммой, приведенной на рис. 1,б. Из нее можно определить, что угол сдвига между входными током и ЭДС равен:

Экспериментальная часть.

Схема последовательного соединения R, L, C.

Резонанс наступает при равенстве сопротивлений индуктивности и емкости:

XL = XC или ωL = 1/ωC, откуда и .

Согласно 9 варианту: R=300 Ом, L = 0.9 Гн, C = 0.3 мкФ.

Вычисляем: [Гц].

Результаты измерений при последовательном соединение R, L, C.

Схема параллельного соединения R, L, C.

Читайте также  Бойлеры для воды электрические как выбрать?

Результаты измерений при параллельном соединение R, L, C.

Вывод: в ходе данной лабораторной работы мы приобрели навыки расчета режимов элек­трических цепей синусоидального тока, содержащих резисторы, конденсато­ры и катушки индуктивности. Познакомились с явление резонанса, научились расчитывать резонансную частоту, установили влияние резонансной частоты на процессы в цепи с параллельным и последовательным соединений индуктивности, емкости и активного сопротивления.

Последовательное и параллельное соединение проводников, резисторов,
конденсаторов и катушек индуктивности. Онлайн расчёты.

«- Я тебе как электрику объясняю: Надя спит с мужиками последовательно, а Света параллельно. Кто из них шмара вавилонская?
— Ну, Света наверное.
— Вот! А мне, как кладовщику, видится немного другое: «поблядушка обыкновенная» — 2 штуки! »

«- А теперь скажи мне отрок, как течёт электричество по проводам электрическим, и цепям рукотворным, последовательным да параллельным, от плюса к минусу со скоростью света в вакууме?
— С Божьей помощью, батюшка! С Божьей помощью. »

Ну да ладно, достаточно! Шутки — штуками, а пора бы уже дело делать. Так что «Копайте пока здесь! А я тем временем схожу узнаю — где надо. », а заодно набросаю пару-тройку калькуляторов на заданную тему.

Итак.
При последовательном соединении проводников сила тока во всех проводниках одинакова, при этом общее напряжение в цепи равно сумме напряжений на концах каждого из проводников.
При параллельном соединении падение напряжения между двумя узлами, объединяющими элементы цепи, одинаково для всех элементов, а сила тока в цепи равна сумме сил токов в отдельных параллельно соединённых проводниках.
Поясним рисунком с распределением напряжений, токов и формулами.


Рис.1

Расчёт проведём для 4 резисторов (проводников), соединённых последовательно или параллельно. Если элементов в цепи меньше, то оставляем лишние поля в таблице не заполненными.
Заодно, при желании узнать распределение значений токов и напряжений на каждом из элементов при последовательном и параллельном соединениях, есть возможность ввести величину общего напряжения в цепи U. А есть возможность не вводить.
Короче, все вводные, помеченные * — к заполнению не обязательны.

РАСЧЁТ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ
проводников

Теперь, что касается последовательных и параллельных соединений конденсаторов и катушек индуктивности.
Схема, приведённая на Рис.1 для проводников и резисторов, остаётся в полной силе и для катушек с конденсаторами, распределение напряжений и токов тоже никуда не девается, трансформируется лишь осмысление того, что токи эти и напряжения обязаны быть переменными.
Почему переменными?
А потому, что для постоянных значений этих величин — сопротивление конденсаторов составляет в первом приближении бесконечность, а катушек — ноль, соответственно и токи будут равны либо нулю, либо бесконечности, а для переменных значений иметь ярко выраженную зависимость от частоты.

Поэтому, для желающих рассчитать величины напряжений и токов в последовательных или параллельных цепях, состоящих из конденсаторов и катушек индуктивности, имеет полный смысл выяснить на странице ссылка на страницу значения реактивных сопротивлений данных элементов при интересующей Вас частоте и подставить эти значения в таблицу для расчёта проводников и резисторов. А в качестве общего напряжения в цепи — подставлять действующее значение амплитуды переменного тока.

Ну а теперь приведём таблицы для расчёта значений ёмкостей и индуктивностей при условии последовательного и параллельного соединений конденсаторов и катушек в количестве от 2 до 4 штук.
Расчёт поведём на основании хрестоматийных формул:

С = С 1 + С 2 +. + С n и 1/L = 1/L 1 + 1/L 2 +. + 1/L n для параллельных цепей и
L = L 1 + L 2 +. + L n и 1/С = 1/С 1 + 1/С 2 +. + 1/С n для последовательных.

Как и в предыдущей таблице вводные, помеченные * — к заполнению не обязательны.

РАСЧЁТ ЁМКОСТИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ
конденсаторов

Ну и в завершении ещё одна таблица.

РАСЧЁТ ИНДУКТИВНОСТИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ
катушек

Тут важно заметить, что приведённые в последней таблице расчёты верны только для индуктивно не связанных катушек, то есть для катушек, намотанных на разных каркасах и расположенных на значительных расстояниях друг от друга, во избежание, пересечения взаимных магнитных полей.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: